Circuitos Lineares de 1ª Ordem

Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.

"Vivemos de nossos atos, não dos anos vividos; de pensamentos, não apenas da respiração; de sentimentos, não dos números em um disco de telefone. Deveríamos contar o tempo em pulsações. Vive mais aquele que pensa mais, sente-se o mais nobre, aquele que age melhor." - P.J. Bailey

Um circuito de primeira ordem é caracterizado por uma equação diferencial de primeira ordem.

Circuito RC sem fonte

Um circuito RC sem fonte ocorre quando sua fonte CC é desconectada abruptamente. A energia já armazenada no capacitor é liberada para os resistores.

\begin{align} {\Large v(t) = V_0 e^{\frac{-t}{RC}}} \end{align}

A resposta natural de um circuito se refere ao comportamento (em termos de tensões e correntes) do próprio circuito, sem nenhuma fonte externa de excitação.

A resposta natural depende da natureza do circuito em si, sem nenhuma fonte externa. De fato, o circuito apresenta uma resposta apenas em razão da energia armazenada inicialmente no capacitor.

A resposta natural é ilustrada graficamente na Figura 7.2. Observe que em t = 0 temos a condição inicial correta como na Equação anterior. À medida que t aumenta, a tensão diminui em direção a zero. A rapidez com que a tensão decresce é expressa em termos da constante de tempo, representada por \tau, a letra grega minúscula tau.

A constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para a resposta de decaimento a um fator igual a 1/e ou a 36,8% de seu valor inicial

\begin{align} {\Large \tau = RC} \end{align}

Assim, a equação da tensão em função do tempo, fica:

\begin{align} {\Large v(t) = V_0 e^{\frac{-t}{\tau}}} \end{align}

Com a tensão v(t) na Equação, podemos determinar a corrente iR(t):

\begin{align} {\Large iR(t) = \frac{V_0}{R} e^{\frac{-t}{\tau}}} \end{align}

A energia absorvida pelo resistor até o instante t é:

\begin{align} {\Large w_R(t) = \int_{0}^{t} p(x)dx = \frac{1}{2} C V_0² (1 - e^{-2 \frac{t}{\tau}})} \end{align}

Note que, à medida que t -> ∞, wR(∞) -> CV0²/2, que é o mesmo que wC(0), a energia armazenada inicialmente no capacitor, a qual é finalmente dissipada no resistor.

O segredo para se trabalhar com um circuito RC sem fonte é encontrar:

1. A tensão inicial v(0) = V0 no capacitor
2. A constante de tempo \tau

Exemplo 7.1

Na Figura 7.5, façamos vC(0) = 15 V. Determine vC, vx e ix para t 7 0.

Problema Prático 7.1

Consulte o circuito da Figura 7.7. Seja, vC(0) = 60 V. Determine vC, vx e io, para t >= 0.

Exemplo 7.2

A chave no circuito da Figura 7.8 foi fechada por um longo período e é aberta em t = 0. Determine v(t) para t >= 0. Calcule a energia inicial armazenada no capacitor.

Problema Prático 7.2

Se a chave da Figura 7.10 abrir em t = 0, determine v(t) para t >= 0 e wC(0).